局部波动率模型 vs SABR 模型：加密货币期权定价精度对比研究

こんにちは、量化クオンツの田中です。私は過去5年間、暗号資産オプションのプライシング模型開発に携わり、Local Volatility（局所変動率）モデルとSABRモデルの実戦適用を比較研究してきました。本稿では、両模型の理論的背景から実装上の得失、そしてHolySheep AIを活用した実践的な価格計算まで、包括的に解説します。

比較表：HolySheep AI vs 公式API vs 他のリレーサービス

1. 理論的背景：なぜ暗号資産オプションに特殊モデルが必要か

伝統的金融工学では、Black-Scholesモデルが株式オプション定价の標準でした。しかし、暗号資産市場には以下の固有特性が存在します：

• 極端なボラティリティ：BTCは一日で20%を超える変動を見せることも
• 強いファットテール：正規分布からの逸脱が大きい
• ジャンプリスク：フラッシュクラッシュや暴騰が頻発
• 非対称ボラティリティ的微笑：ITM/OTMでボラティリティ構造が複雑

私は2022年のFTX崩壊時、伝統的Black-Scholesモデルが著しい価格乖離を見せることを実体験しました。この教訓から、局部波动率とSABR模型の必要性を痛感しました。

2. Local Volatility（局所変動率）モデルとは

2.1 理論的定式化

局所ボラティリティモデルは、Dupire方程式によりスポット価格と満期に基づいてボラティリティ面を完全に再現します：

"""
Local Volatility Model - Dupire 方程式による実装
 HolySheep AI API活用版
"""

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import brentq
import requests

class LocalVolatilityModel:
    def __init__(self, api_key):
        self.base_url = "https://api.holysheep.ai/v1"
        self.headers = {
            "Authorization": f"Bearer {api_key}",
            "Content-Type": "application/json"
        }
    
    def local_vol_dupire(self, S, K, T, implied_vols, spot_price):
        """
        Dupire方程式による局所ボラティリティ計算
        σ²(L,V)(T,K) = [∂C/∂T + (q-r)K∂C/∂K + qC] / [½K²∂²C/∂K²]
        
        Parameters:
        - S: スポット価格
        - K: 行使価格
        - T: 満期
        - implied_vols: インプライド・ボラティリティ行列
        - spot_price: 現在 spot 価格
        """
        # Black-Scholes コール価格計算
        def black_scholes_call(S, K, T, r, q, sigma):
            d1 = (np.log(S/K) + (r - q + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
            d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
            return S*np.exp(-q*T)*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
        
        # 局所ボラティリティの導出
        # 実際のデータでは板情報からインプライドボラティリティ曲面を構築
        local_var = self._compute_local_variance(
            S, K, T, implied_vols, spot_price
        )
        return np.sqrt(local_var)
    
    def _compute_local_variance(self, S, K, T, ivols, spot):
        """内部メソッド：局所分散計算"""
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